Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir sind ja jetzt in dem Kapitel über lineare Abbildungen und da haben wir schon einige

Strukturaussagen gemacht. Ich wiederhole nochmal, was lineare Abbildungen sind.

Davor haben wir uns ja mit linearen Vektorräumen beschäftigt und die linearen Abbildungen bilden

einen linearen Vektorraum in einen anderen linearen Vektorraum ab. Wir haben also ab eine

Abbildung Phi von V nach W und das sind beides Vektorräume. In diesen Vektorräumen haben

wir ja eine lineare Struktur. Wir können die Vektoren addieren und mit Skalan multiplizieren

und deshalb können wir auch Abbildungen betrachten, die mit dieser Struktur verträglich sind.

Diese Abbildung Phi, die muss Linearkombinationen auf die entsprechenden Linearkombinationen

im Bildraum abbilden. Es soll gelten Phi von einer Linearkombination Alpha mal V plus Beta

mal V ist das gleiche wie Alpha mal Phi von V plus Beta mal Phi von V. Wenn also die Bilder

von V und V bekannt sind, dann sind auch die Bilder aller Linearkombinationen bekannt.

Wenn wir die Bilder auf einer Basis festlegen, also die Bilder der Basisvektoren, dann ist

damit schon die ganze lineare Abbildung festgelegt. Das folgt hier raus direkt. Die Zahlen Alpha

und Beta sind hier reell und V und V sind Elemente des Vektorraums V. Aus dieser Definition

folgt insbesondere, das gilt Phi von 0 gleich 0. Der Nullvektor in V wird also immer auf

den Nullvektor in V abgebildet. Wir hatten dazu auch schon kleine Skizzen gemacht. Also

hier links soll irgendwo der Vektorraum V sein, hier rechts soll der Vektorraum V liegen.

Dann haben wir hier den Nullvektor in V und die Abbildung Phi bildet diesen Punkt ab auf

den Nullvektor in V. Häufig wird nicht der gesamte Vektorraum V erreicht durch Bilder,

sondern nur ein Unterraum, das ist das Bild von V. Also man kann zu jeder Abbildung die

Menge aller Bilder betrachten und bei den linearen Abbildungen ist das tatsächlich ein Unterraum.

Deshalb zeichne ich den mal hier als gerade ein. Also das soll das Bild von Phi sein.

Die Definition ist, das Bild von Phi enthält die Menge oder besteht aus der Menge aller

Bildpunkte. Das Bild von Phi ist gleich die Menge aller Vektoren Phi von V, wobei V den

ganzen Vektorraum V durchläuft und das ist also ein Unterraum von V. Beim Unterraum kann man dann

wieder die Dimension betrachten und Basen für diesen Unterraum suchen. Also alles machen, was

wir auch in den anderen Vektorräumen gemacht haben. Hier in V gibt es auch einen wichtigen

Unterraum. Es kann nämlich sein, dass nicht nur der Nullvektor auf den Nullvektor in V abgebildet

wird, sondern auch noch andere Vektoren. So betrachtet man also den Kern von Phi. Der

Kern von Phi enthält alle Vektoren in V, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Das sind also

die Menge Vektoren V in V mit der Eigenschaft, Phi von V ist der Nullvektor und das ist auch

ein Vektorraum und zwar ein Unterraum von V. Hier können wir ihn einzeichnen. Nehmen wir mal eine

andere Farbe für den Kern. Das ist also auch wieder in der Tafelebene dann eine Gerade durch

den Nullpunkt und die Punkte werden von dem Phi alle auf den Nullpunkt abgebildet. Deshalb sind

sie im Kern. So ist der Kern gerade definiert. Und das ist die allgemeine Situation bei den

linearen Abbildungen. Durch diese linearen Abbildungen werden also in V und V Unterräume

definiert und die haben wiederum auch Dimensionen und da waren wir auch stehen geblieben an dem Punkt.

Wir hatten noch wichtige Begriffe definiert, die für die Analyse von Abbildungen allgemein ganz

grundlegend sind. Der erste Begriff war der Begriff der Injektivität. Injektiv heißt eine

Abbildung, wenn sie eineindeutig ist, also wenn jedes Bild, jeder Bildpunkt nur von einem einzigen

Urbild erreicht wird. Und bei den linearen Abbildungen kann man die Injektivität durch den

Kern charakterisieren. Diese linearen Abbildungen sind genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus

dem Nullvektor besteht oder anders gesagt, wenn der Kern von Phi die Dimension Null hat.

Also eine lineare Abbildung wie oben, Phi von V nach W ist injektiv. Genau dann, wenn gilt,

der Kern von Phi besteht nur aus dem Nullvektor. Der Kern ist dann also so klein, wie es überhaupt

nur geht. Kleiner kann er nicht werden, weil der Nullvektor ja immer drin ist. Wir hatten

auch den Begriff der Sojektivität definiert. Eine Abbildung ist sojektiv, wenn alle Punkte in W auch

als Bildpunkte erreicht werden. Also wenn das Bild von V der ganze Raum W ist, wenn das Bild von Phi

der ganze Raum W ist, Phi sojektiv. Genau dann, wenn gilt, das Bild von Phi ist gleich W. Alle